题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=0，f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有等根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由．

答案

（1）∵f（x）是二次函数，设f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
∵f（0）=0
∴c=0
∴f（x）=ax²+bx
又∵f（-x+5）=f（x-3）
∴函数f（x）的对称轴为x=1
∴-

b

2a

=1
又∵方程f（x）=x，即ax²+（b-1）x=0有等根
∴（b-1）²=0
∴b=1，a=-

1

2

∴f(x)=-

1

2

x2+x
（2）假设存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]
∵f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

∴3n≤

1

2

∴n≤

1

6

又函数f（x）的对称轴为x=1，且开口向下
∴f（x）在[m，n]上单调递增
∴

f(m)=3m f(n)=3n

，即

- 1 2 m2+m=3m - 1 2 n2+n=3n

又m＜n
∴m=-4，n=0
∴存在实数m=-4，n=0满足题意