题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=x²-ax+3，x∈[1，3]．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，3]上单调递增，试求a的取值范围；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞1在x∈[1，3]上恒成立，试求a的取值范围．

答案

（1）由于f(x)=(x-

a

2

)2+3-

a2

4

，（1）由题意可得

a

2

≤1⇒a≤2．
（2）解法1：由题意得x²-ax+2＞0在x∈[1，3]上恒成立，即a＜

x2+2

x

=x+

2

x

在x∈[1，3]上恒成立．令g(x)=x+

2

x

，由其图象可知g（x）在x∈[1，3]上的最小值为2

2

（当x=

2

时取到），故a＜2

2

．
解法2：(x-

a

2

)2+2-

a2

4

＞0在x∈[1，3]上恒成立，
当

a

2

≤1时，f（1）=3-a＞0⇒a≤2；
当1＜

a

2

≤3时，2-

a2

4

＞0⇒2＜a＜2

2

；
当

a

2

＞3时，f（3）=11-3a＞0，此时无解，综上可得a＜2

2

．