题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），又f（0）=3，f（2）=1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，求m的取值范围．

答案

∵二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），
∴其对称轴是x=2，可设其方程为y=a（x-2）²+b
∵f（0）=3，f（2）=1
∴

4a+b=3 b=1

解得a=

1

2

，b=1
函数f（x）的解析式是y=

1

2

（x-2）²+1
（2）∵f（0）=3，f（2）=1，f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，
∴m≥2
又f（4）=3，由二次函数的性质知，m≤4
综上得2≤m≤4
答：函数f（x）的解析式是y=

1

2

（x-2）²+1；2≤m≤4