题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量

a

=(cos

3x

2

，sin

3x

x

)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，x∈[0，

π

2

]，
（1）用x的式子来表示

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）求函数f(x)=

a

•

b

-4|

a

+

b

|的值域．

答案

（1）∵

a

=(cos

3x

2

，sin

3x

x

)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，x∈[0，

π

2

]，
∴

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，
而|

a

+

b

|²=1+1+2cos2x=4cos²x，
∴|

a

+

b

|=2cosx．
（2）∵

a

•

b

=cos2x，|

a

+

b

|=2cosx，
∴f(x)=

a

•

b

-4|

a

+

b

|
=cos2x-8cosx
=2cos²x-8cosx-1
=2（cosx-1）²-9．
∵x∈[0，

π

2

]，所以cosx∈[0，1]，
即f（x）的值域为[-7，-1]．