题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c∈R．且满足a＞b＞c，f（1）=0．
（Ⅰ）证明：当a=3、b=2时函数f（x）与g（x）的图象交于不同的两点A，B．
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值是9，最大值为21，试求a，b的值．

答案

证明：（Ⅰ）由已知3x²+2x+c=-2x
即3x²+4x+c=0．且a+b+c=0，所以c=-5（2分）
△=4b²-4ac＞0
因此函数f（x）与g（x）图象交于不同的两点A、B．（6分）
（Ⅱ）由题意知，F（x）=ax²+2bx+c
∴函数F（x）的图象的对称轴方程为∵x=-

b

a

又∵a+b+c=0
∴x=

a+c

a

=1+

c

a

＜1（8分）
又a＞0
∴F（x）在[2，3]单增
∴

f(2)=9 f(3)=21

（10分）
即

3a+3b=9 8a+5b=21

∴

a=2 b=1

（12分）