题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²+2（a-1）x+2，
（1）若函数f（x）的值域为[1，+∞），求实数a的值；
（2）若函数f（x）的递增区间为[1，+∞），求实数a的值；
（3）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=x²+2（a-1）x+2=（x+a-1）²+2-（a-1）²≥2-（a-1）²，
∵函数f（x）的值域为[1，+∞），
∴2-（a-1）²=1
∴a=0或a=2
（2）∵f（x）=x²+2（a-1）x+2对称轴为x=a-1，
∵若函数f（x）的递增区间为[1，+∞），
∴a-1=1，
∴a=2；
（3）由题意知，f（x）=x²+2（a-1）x+2对称轴为x=a-1，
∵函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴a-1≤1，解得a≤2．