题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在区间[-1，2]上求y=f（x）的值域．

答案

（I）令f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
代入f（x+1）-f（x）=2x，
得：a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x，
2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

，
解得a=1，b=-1
又∵f（0）=c=1
∴f（x）=x²-x+1；
（II）∵函数f（x）=x²-x+1的图象是开口朝上，且以直线x=

1

2

为对称轴的抛物线
故函数f（x）在区间[-1，

1

2

]上为减函数，区间[

1

2

，2]上为增函数
故当x=-1，或x=2时，函数f（x）取最大值3，
当x=

1

2

时，函数f（x）取最小值

3

4

故y=f（x）的值域为[

3

4

，3]