题目

题型：解答题难度：一般来源：0123 期中题

定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0，
（1）求证：函数f(x)是偶函数；
（2）若f(x)在(-∞，0)上是增函数，判断f(x)在(0，+∞)的单调性。

答案

（1）证明：令x=y=0，则有，
，
∴f(0)=1，
令x=0，∴，∴，
∴f(x)是偶函数。
（2）解：令，则，
∵f(x)在(-∞，0)上是增函数，
∴,
又∵f(x)是偶函数，
∴，
∴，
∴f(x)在(0，+∞)上是减函数。