题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=ln（e^x+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数
（1）求k的值
（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数，且g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围
（3）讨论关于x的方程

lnx

f(x)

=x2-2ex+m的根的个数．

答案

（1）因为函数f（x）=ln（e^x+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数，
所以f（-0）=-f（0）即f（0）=0，
则ln（e⁰+k）=0解得k=0，
显然k=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；
（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g"（x）=λ+cosx，
因为g（x） 在[-1，1]上单调递减，∴g"（x）=λ+cosx≤0  在[-1，1]上恒成立，
∴λ≤-1，g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1，
只需-λ-sin1≤t²+λt+1（λ≤-1），
∴（t+1）λ+t²+sin1+1≥0（λ≤-1）恒成立，
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1（λ≤-1）
则

t+1≤0 h(-1)=-t-1+t2+sin1+1≥0

解得t≤-1
（3）由（1）得f（x）=x
∴方程转化为

lnx

x

=x²-2ex+m，令F（x）=

lnx

x

（x＞0），G（x）=x²-2ex+m  （x＞0），（8分）
∵F"（x）=

1-lnx

x2

，令F"（x）=0，即

1-lnx

x2

=0，得x=e
当x∈（0，e）时，F"（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上为增函数；
当x∈（e，+∞）时，F"（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上为减函数；（9分）
当x=e时，F（x）_max=F（e）=

1

e

（10分）
而G（x）=（x-e）²+m-e²   （x＞0）
∴G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数；（11分）
当x=e时，G（x）_min=m-e²（12分）
∴当m-e2＞

1

e

，即m＞e2+

1

e

时，方程无解；
当m-e2=

1

e

，即m=e2+

1

e

时，方程有一个根；
当m-e2＜

1

e

，即m＜e2+

1

e

时，方程有两个根；（14分）