题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)判断g(x)=sinx和h(x)=x2-x是不是实数集R上的“平缓函数”,并说明理由;
(2)若数列{xn}对所有的正整数n都有 |xn+1-xn|≤
1 |
(2n+1)2 |
1 |
4 |
答案
设φ(x)=x-sinx,则φ"(x)=1-cosx≥0,则φ(x)=x-sinx是实数集R上的增函数,
不妨设x1<x2,则φ(x1)<φ(x2),即x1-sinx1<x2-sinx2,
则sinx2-sinx1<x2-x1,①
又y=x+sinx也是R上的增函数,则x1+sinx1<x2+sinx2,
即sinx2-sinx1>x1-x2,②
由 ①、②得-(x2-x1)<sinx2-sinx1<x2-x1
因此|sinx2-sinx1|<|x2-x1|,对x1<x2的实数都成立,
当x1>x2时,同理有|sinx2-sinx1|<|x2-x1|成立
又当x1=x2时,不等式|sinx2-sinx1|=|x2-x1|=0,
故 对任意的实数x1,x2∈R均 有|sinx2-sinx1|≤|x2-x1|
因此 sinx是R上的“平缓函数.
由于|h(x1)-h(x2)|=|(x1-x2)(x1+x2-1)|
取x1=3,x2=1,则|h(x1)-h(x2)|=4>|x1-x2|,
因此,h(x)=x2-x不是区间R的“平缓函数”.
(2)由(1)得:sinx是R上的“平缓函数,则|sinx2-sinx1|≤|x2-x1|,所以|yn+1-yn|≤|xn+1-xn|,
而|xn+1-xn|≤
1 |
(2n+1)2 |
所以 |yn+1-yn|≤
1 |
(2n+1)2 |
1 |
4n2+4n |
1 |
4 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
而|yn+1-y1|=|(yn+1-yn)+(yn-yn-1)+(yn-1-yn-2)+…(y2-y1)|
所以|yn+1-y1|≤|yn+1-yn|+|yn-1-yn-2|+…+|y2-y1|,
则 |yn+1-y1|≤
1 |
4 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
1 |
n-1 |
1 |
n |
1 |
2 |
因此 |yn+1-y1|≤
1 |
4 |
1 |
n+1 |
1 |
4 |
核心考点
试题【若函数f(x)对任意的实数x1,x2∈D,均有|f(x2)-f(x1)|≤|x2-x1|,则称函数f(x)是区间D上的“平缓函数”,(1)判断g(x)=sinx】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.-1<0或a>4 | B.0<a<4 | C.a≥4或a≤0 | D.0≤a≤4 |
A.f(-
| B.f(-1)<f(-
| ||||
C.f(2)<f(-1)<f(-
| D.f(2)<f(-
|
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在R上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
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