题目
题型:解答题难度:一般来源:陕西
已知函数f(x)=
,x∈[0,1],
(1)求函数f(x)的单调区间和值域;
(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.
4x2-7 |
2-x |
(1)求函数f(x)的单调区间和值域;
(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.
答案
(1)对函数f(x)=
,x∈[0,1],求导,得
f′(x)=
=-
,
令f′(x)=0解得x=
或x=
.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示:
所以,当x∈(0,
)时,f(x)是减函数;当x∈(
,1)时,f(x)是增函数.
当x∈[0,1]时,f(x)的值域是[-4,-3].
(II)对函数g(x)求导,则g′(x)=3(x2-a2).
因为a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)<5(1-a2)≤0,
因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,
从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)],
又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,
即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a],
任给x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1),
则[1-2a-3a2,-2a]⊃[-4,-3],即
,
解①式得a≥1或a≤-
,
解②式得a≤
,
又a≥1,故a的取值范围内是1≤a≤
.
4x2-7 |
2-x |
f′(x)=
-4x2+16x-7 |
(2-x)2 |
(2x-1)(2x-7) |
(2-x)2 |
令f′(x)=0解得x=
1 |
2 |
7 |
2 |
所以,当x∈(0,
1 |
2 |
1 |
2 |
当x∈[0,1]时,f(x)的值域是[-4,-3].
(II)对函数g(x)求导,则g′(x)=3(x2-a2).
因为a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)<5(1-a2)≤0,
因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,
从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)],
又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,
即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a],
任给x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1),
则[1-2a-3a2,-2a]⊃[-4,-3],即
|
解①式得a≥1或a≤-
5 |
3 |
解②式得a≤
3 |
2 |
又a≥1,故a的取值范围内是1≤a≤
3 |
2 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=4x2-72-x,x∈[0,1],(1)求函数f(x)的单调区间和值域;(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],若】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知f(x)是偶函数,当x<0时,f(x)=x(2x-1),则当x>0时,f(x)=______.
已知f (x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,并且f (x)<0对一切x∈R成立,试判断-
在(-∞,0)上的单调性,并证明你的结论.
1 |
f(x) |
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