题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²-（a+1）x+a，其中a为实常数．
（1）解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）≥x-2对任意x＞1恒成立，求a的取值范围．

答案

（1）由题意，（x-a）（x-1）＜0
①当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}
②当a=1时，不等式的解集为∅
③当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}
（2）不等式f（x）≥x-2对任意x＞1恒成立，即x²-（a+1）x+a≥x-2对任意x＞1恒成立
将参数a分离出来，即x²-2x+2≥a（x-1）
由于x＞1，所以a≤

x2-2x+2

x-1

∵x＞1，∴

x2-2x+2

x-1

=(x-1)+

1

x-1

≥2
所以

x2-2x+2

x-1

）的最小值为2，当且仅当x=2时，取得最小值．
所以a≤2