题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足：①f（0）=0；②∀x∈R，f（x）≥x；③f（-

1

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+x）=f（-

1

2

-x）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）试讨论函数g（x）=f（x）-2x在区间[-2，2]内的单调性；
（3）是否存在实数t，使得函数h（x）=f（x）-x²-x+t与函数u（x）=|log₂x|（x∈（0，2]）的图象恒有两个不同交点，如果存在，求出相应t的取值范围；如果不存在，说明理由．

答案

（1）由条件①得f（0）=c=0，
由③f（-

1

2

+x）=f（-

1

2

-x）知f（x）的对称轴x=-

b

2a

=-

1

2

，即a=b，
由②∀x∈R，f（x）≥x，即ax²+（a-1）x≥0，对∀x∈R恒成立，
∴

a＞0 △=(a-1)2≤0

，
又（a-1）²≥0，∴a=b=1，
∴f（x）=x²+x．
（2）g（x）=f（x）-2x=x²-x，其图象为开口向上的抛物线且对称轴为x=

1

2

，
所以g（x）在区间[-2，

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]上单调递减，在区间[

1

2

，2]上单调递增；．    
（3）存在实数t，使两函数图象恒有两个交点，理由如下：
h（x）=f（x）-x²-x+t=t，
又函数u（x）=|log₂x|（x∈（0，2]）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，又u（1）=0，u（2）=1，
∴h（x）与u（x）恒有两个不同交点得实数t的取值范围是（0，1]．