题目
题型:解答题难度:一般来源:上海模拟
(1)当f(x)=x2时,判断f(x)是否为V形函数,并说明理由;
(2)当f(x)=lg(x2+2)时,证明:f(x)是V形函数;
(3)当f(x)=lg(2x+a)时,若f(x)为V形函数,求实数a的取值范围.
答案
当x1,x2同号时,f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2),不满足V形函数的定义,
故当f(x)=x2时,f(x)不是V形函数;
(2)当f(x)=lg(x2+2)时f(x1+x2)=lg[(x1+x2)2+2]=lg(x12+x22+2x1x2+2),
f(x1)+f(x2)=lg(x12+2)+lg(x22+2)=lg[2(x12+x22)+x12x22+4]
∴满足对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),则f(x)=lg(x2+2)为“V形函数”.
(3)当f(x)=lg(2x+a)时,若f(x)为V形函数
则f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),
即lg(2x1+x2+a)≤lg(2x1+a)+lg(2x2+a)=lg[2x1+x2+a(2x1+x2)+a2]
∴a(2x1+x2)+a2-a≥0对任意x1,x2∈R恒成立
当a=0时,成立,当a<0时不成立,当a>0时,a≥(1-2x1+x2)max
∴a≥1或a=0
核心考点
试题【若函数f(x)定义域为R,满足对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),则称f(x)为“V形函数”.(1)当f(x)=x2时,判断f(x】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
x |
πx |
2 |
2 |
m |
1 |
n |
(Ⅰ)证明:对于任意的0≤x≤y≤1,有f(x)≤f(y);
(Ⅱ)证明:对于任意的0≤x≤1,有f(x)≤2x;
(Ⅲ)不等式f(x)≤1.9x对于一切x∈[0,1]都成立吗?
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