题目
题型:解答题难度:一般来源:山东
1 |
(1-x)n |
(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1.
答案
当n=2时,f(x)=
1 |
(1-x)2 |
2-a(1-x)2 |
(1-x)3 |
(1)当a>0时,由f"(x)=0得x1=1+
|
|
此时f′(x)=
-a(x-x1)(x-x2) |
(1-x)3 |
当x∈(1,x1)时,f"(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(x1,+∞)时,f"(x)>0,f(x)单调递增.
(2)当a≤0时,f"(x)<0恒成立,所以f(x)无极值.
综上所述,n=2时,
当a>0时,f(x)在x=1+
|
|
a |
2 |
2 |
a |
当a≤0时,f(x)无极值.
(Ⅱ)证法一:因为a=1,所以f(x)=
1 |
(1-x)n |
当n为偶数时,
令g(x)=x-1-
1 |
(1-x)n |
则g′(x)=1+
n |
(x-1)n+1 |
1 |
x-1 |
x-2 |
x-1 |
n |
(x-1)n+1 |
所以当x∈[2,+∞)时,g(x)单调递增,
又g(2)=0,
因此g(x)=x-1-
1 |
(x-1)n |
所以f(x)≤x-1成立.
要证f(x)≤x-1,由于
1 |
(1-x)n |
令h(x)=x-1-ln(x-1),
则h′(x)=1-
1 |
x-1 |
x-2 |
x-1 |
所以当x∈[2,+∞)时,h(x)=x-1-ln(x-1)单调递增,又h(2)=1>0,
所以当x≥2时,恒有h(x)>0,即ln(x-1)<x-1命题成立.
综上所述,结论成立.
证法二:当a=1时,f(x)=
1 |
(1-x)n |
当x≥2时,对任意的正整数n,恒有
1 |
(1-x)n |
故只需证明1+ln(x-1)≤x-1.
令h(x)=x-1-(1+ln(x-1))=x-2-ln(x-1),x∈[2,+∞),
则h′(x)=1-
1 |
x-1 |
x-2 |
x-1 |
当x≥2时,h"(x)≥0,故h(x)在[2,+∞)上单调递增,
因此当x≥2时,h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x-1)≤x-1成立.
故当x≥2时,有
1 |
(1-x)n |
即f(x)≤x-1.
核心考点
试题【已知函数f(x)=1(1-x)n+aln(x-1),其中n∈N*,a为常数.(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
1-x |
1+x |
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.
x |
①y=x3+
1 |
x |
②y=
2x-1 |
1-2x |
③y=x4+x;
④y=
|
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