题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x+m）
（Ⅰ）当m=-1时，求函数f（x）的最小值，并求此时x的值；
（Ⅱ）当x∈[0， 

π

6

]时，-4＜f（x）＜4恒成立，求实数m的取值范围．

答案

f(c)=2cos2x+

3

sin2x+m
=1+cos2x+

3

sin2x+m
=2sin(2x+

π

6

)+m+1
（Ⅰ）当m=-1时，f(x)=2sin(2x+

π

6

)
当2x+

π

6

=2kπ-

π

2

  (k∈Z)时，
函数f（x）取最小值，f（x）_min=-2，
此时x=kπ-

π

3

  (k∈Z)
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

6

∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

故

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
∴2+m≤f（x）≤3+m
依题意当x∈[0，

π

6

]时，
-4＜f（x）＜4恒成立
∴

f(x)min＞-4  f(x)max＜4

，
即

2+m＞-4 3+m＜4

解得-6＜m＜1，为所求的实数m的取值范围