题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)若函数y=f(x)是偶函数,求出符合条件的实数a的值;
(2)若方程f(x)=g(x)有两解,求出实数a的取值范围;
(3)若a>0,记F(x)=g(x)•f(x),试求函数y=F(x)在区间[1,2]上的最大值.
答案
∴对任意的实数x,f(-x)=f(x)成立
即|-x-a|=|x-a|,
∴x+a=x-a恒成立,或x+a=a-x恒成立
∵x+a=a-x不能恒成立
∴x+a=x-a恒成立,得a=0.…(4分)
(2)当a>0时,|x-a|-ax=0有两解,
等价于方程(x-a)2-a2x2=0在(0,+∞)上有两解,
即(a2-1)x2+2ax-a2=0在(0,+∞)上有两解,…(6分)
令h(x)=(a2-1)x2+2ax-a2,
因为h(0)=-a2<0,所以
|
同理,当a<0时,得到-1<a<0;
当a=0时,f(x)=|x|=0=g(x),显然不合题意,舍去.
综上可知实数a的取值范围是(-1,0)∪(0,1).…(10分)
(3)令F(x)=f(x)•g(x)
①当0<a≤1时,则F(x)=a(x2-ax),
对称轴x=
a |
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2 |
所以此时函数y=F(x)的最大值为4a-2a2.
②当1<a≤2时,F(x)=
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a |
2 |
1 |
2 |
所以函数y=F(x)在(1,a]上是减函数,在[a,2]上是增函数,F(1)=a2-a,F(2)=4a-2a2,
1)若F(1)<F(2),即1<a<
5 |
3 |
2)若F(1)≥F(2),即
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3 |
③当2<a≤4时,F(x)=-a(x2-ax)对称轴x=
a |
2 |
此时F(x)max=F(
a |
2 |
a3 |
4 |
④当a>4时,对称轴x=
a |
2 |
综上可知,函数y=F(x)在区间[1,2]上的最大值[F(x)]max=
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核心考点
试题【已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=ax,(a∈R).(1)若函数y=f(x)是偶函数,求出符合条件的实数a的值;(2)若方程f(x)=g(x)有两解,求出】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数y=f(x)-g(x)的解析式;
(2)设H(x)=f(x+
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2 |
5 |
2 |
(3)求函数y=log
1 |
2 |
(1)若函数f(x)是偶函数,求函数f(x)在区间[-1,3]上的最小值;
(2)用函数的单调性的定义证明:当a≤1时,f(x)在区间[1,+∞)上为减函数;
(3)求对于任意a∈[-3,+∞),函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象上方的实数x的取值范围.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式πf(x)>(
1 |
π |
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