题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
a•3x+a-2 |
3x+1 |
(1)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数?证明你的结论;
(2)用单调性定义证明:不论a取任何实数,函数f(x)在其定义域上都是增函数;
(3)若函数f(x)为奇函数,解不等式f(3m2-m+1)+f(2m-3)<0.
答案
3x+1≠0函数f(x)的定义域为 R即(-∞,+∞)…(1分)
假设存在实数a使函数f(x)为奇函数,
由f(0)=0得
2a-2 |
3x+1 |
∴f(x)=
3x-1 |
3x+1 |
3-x-1 |
3-x+1 |
| ||
|
1-3x |
3x+1 |
3x-1 |
3x+1 |
∴当a=1时,函数f(x)为奇函数…(4分)
(2)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2
∵f(x)=a-
2 |
3x+1 |
f(x1)-f(x2)=a-
2 |
3x1+1 |
2 |
3x2+1 |
=
2 |
3x2+1 |
2 |
3x1+1 |
=
2(3x1+1)-2(3x2+1) |
(3x1+1)(3x2+1) |
=
2(3x1-3x2) |
(3x1+1)(3x2+1) |
∵x1<x2,
∴3x1<3x2
∴3x1-3x2<0
又∵3x1+1>0,3x2+1>0
f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)
∴不论a取何值,函数f(x)在其定义域上都是增函数.…(9分)
(3)由f(3m2-m+1)+f(2m-3)<0得f(3m2-m+1)<-f(2m-3)
∵函数f(x)为奇函数
∴-f(2m-3)=f(3-2m)
∴f(3m2-m+1)<f(3-2m)
由(2)已证得函数f(x)在R上是增函数
∴f(3m2-m+1)<f(3-2m)⇔3m2-m+1<3-2m
∴3m2+m-2<0
∴(3m-2)(m+1)<0
∴-1<m<
2 |
3 |
不等式f(3m2-m+1)+f(2m-3)<0的解集为{m|-1<m<
2 |
3 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=a•3x+a-23x+1.(a∈R)(1)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数?证明你的结论;(2)用单调性定义证明:不论a取任何实数,函数f】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
T |
2 |
A.0 | B.
| C.T | D.-
|
A.是奇函数 |
B.是偶函数 |
C.既是奇函数又是偶函数 |
D.既不是奇函数也不是偶函数 |
(1)求an与bn
(2)设Cn=
1 |
S1 |
1 |
S2 |
1 |
S2 |
1 |
Sn |
3 |
4 |
(1)若对于k∈[-2,2],f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围.
(2)若对于x∈[1,2],f(x)<0恒成立,求实数k的取值范围.
m |
x |
(1)求实数m的值并判断f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在(0,2)上的单调性,并用定义证明你的结论.
(3)解关于实数x的不等式f(
2-2x |
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