题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(Ⅰ)当k=0时,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若x≥0时,f(x)≥0恒成立,求k的取值范围.
(Ⅲ)试比较
e2n-1 |
e2-1 |
2n3 |
3 |
n |
3 |
答案
f′(x)=2e2x-2,
令f′(x)>0,则2e2x-2>0,解得:x>0.
令f′(x)<0,则2e2x-2<0,解得:x<0.
所以,函数f(x)=e2x-1-2x的单调增区间为(0,+∞).
单调减区间为(-∞,0).
(Ⅱ)由函数f(x)=e2x-1-2x-kx2,
则f′(x)=2e2x-2kx-2=2(e2x-kx-1),
令g(x)=e2x-kx-1,
则g′(x)=2e2x-k.
由x≥0,
所以,①当k≤2时,g′(x)≥0,g(x)为增函数,而g(0)=0,
所以g(x)≥0,即f′(x)≥0,所以f(x)在[0,+∞)上为增函数,
而f(0)=0,所以f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.
②当k>2时,令g′(x)<0,即2e2x-k<0,则0≤x<
1 |
2 |
k |
2 |
即g(x)在[0,
1 |
2 |
k |
2 |
1 |
2 |
k |
2 |
即f′(x)<0,所以,f(x)在[0,
1 |
2 |
k |
2 |
综上,k≤2.
(Ⅲ)
e2n-1 |
e2-1 |
2n3 |
3 |
n |
3 |
事实上,由(Ⅱ)知,f(x)=e2x-1-2x-2x2在[0,+∞)上为增函数,
所以,e2x≥2x2+2x+1=x2+(x+1)2,
则e0≥12
e2≥12+22
e4≥22+32
e6≥32+42
…
e2(n-1)≥(n-1)2+n2
累加得:1+e2+e4+e6+…+e2(n-1)≥2(12+22+32+…+(n-1)2)+n2.
即
1-e2n |
1-e2 |
(n-1)n(2n-1) |
6 |
所以,
e2n-1 |
e2-1 |
2n3 |
3 |
n |
3 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=e2x-1-2x-kx2(Ⅰ)当k=0时,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若x≥0时,f(x)≥0恒成立,求k的取值范围.(Ⅲ)试比较e2n-1e】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.f(1)<f(
| B.f(
| C.f(
| D.f(
|
4x-b |
2x |
A.1 | B.-1 | C.-
| D.
|
A.f(x)=
| B.f(x)=
| ||||
C.f(x)=-log2x(x>0) | D.f(x)=-log2(-x)(x<0) |
a |
2x |
(Ⅰ)求函数y=g(x)和y=h(x)的解析式;
(Ⅱ)若方程f(x)=a在x∈[0,1]上有且仅有一个实根,求a的取值范围;
(Ⅲ)设F(x)=f(x)+h(x),已知F(x)>2+3a对任意的x∈(1,+∞)恒成立,求a的取值范围.
(1)求f(x)在x∈(2,3)时的解析式;
(2)求f(log
1 |
2 |
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