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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=(x-a)lnx,(a≥0).
(1)当a=0时,若直线y=2x+m与函数y=f(x)的图象相切,求m的值;
(2)若f(x)在[1,2]上是单调减函数,求a的最小值;
(3)当x∈[1,2e]时,|f(x)|≤e恒成立,求实数a的取值范围.(e为自然对数的底).
答案
(1)当a=0时,f(x)=xlnx,∴f′(x)=lnx+1
∵直线y=2x+m与函数y=f(x)的图象相切,∴lnx+1=2,∴x=e
∵f(e)=e,∴切点为(e,e),∴m=-e;
(2)f′(x)=lnx+1-
a
x

∵f(x)在[1,2]上是单调减函数,
f′(x)=lnx+1-
a
x
≤0在[1,2]上恒成立
∴a≥xlnx+x在[1,2]上恒成立
令g(x)=xlnx+x,则g′(x)=lnx+2>0
∴g(x)=xlnx+x在[1,2]上单调递增
∴a≥≥g(2)=2ln2+2
∴a的最小值为2ln2+2;
(3)|f(x)|≤e等价于-e≤(x-a)lnx≤e
∴-
e
lnx
≤x-a≤
e
lnx

∴x-
e
lnx
≤a≤x+
e
lnx

设h(x)=x+
e
lnx
,t(x)=x-
e
lnx
,则t(x)max≤a≤h(x)min
h′(x)=
xln2x-e
xln2x
,∵h′(e)=0
令s(x)=xln2x-e,x∈[1,2e],则s′(x)=ln2x+lnx>0
∴h(x)在[1,2e]上单调递增,∴h(x)min=h(e)=2e,
∵t′(x)=1+
e
xln2x
>0,∴t(x)在[1,2e]上单调递增,
∴t(x)max=t(2e)=2e-
e
ln2e

综上,2e-
e
ln2e
≤a≤2e.
核心考点
试题【已知函数f(x)=(x-a)lnx,(a≥0).(1)当a=0时,若直线y=2x+m与函数y=f(x)的图象相切,求m的值;(2)若f(x)在[1,2]上是单调】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
若关于x的不等式ax2+ax-1<0解集为R,则a的取值范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=lg(
2
1+x
-1)
,则y=f(x)的图象(  )
A.关于原点对称B.关于y轴对称
C.关于x轴对称D.关于直线y=x对称
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知数列an满足a1=1,an+1=an+n(n∈N*),数列bn满足b1=1,(n+2)bn+1=nbn(n∈N*),数列cn满足c1=1,
c1
1
+
c2
22
+…+
cn
n2
=
cn+1
n+1
(n∈N*
(1)求数列an、bn的通项公式;
(2)求数列cn的通项公式;
(3)是否存在正整数k使得k(an+
7
2
)-
3
bn+1
cn+6n+15
对一切n∈N*恒成立,若存在求k的最小值;若不存在请说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)为偶函数,它在零到正无穷上是增函数,求f(2m-3)<f(8)的m范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义在[-4,4]上的偶函数f(x)在区间[0,4]上单调递减,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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