题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知数列a_n满足a₁=1，a_n+1=a_n+n（n∈N^*），数列b_n满足b₁=1，（n+2）b_n+1=nb_n（n∈N^*），数列c_n满足c1=1，

c1

1

+

c2

22

+…+

cn

n2

=

cn+1

n+1

（n∈N^*）
（1）求数列a_n、b_n的通项公式；
（2）求数列c_n的通项公式；
（3）是否存在正整数k使得k(an+

7

2

)-

3

bn+1

＞cn+6n+15对一切n∈N^*恒成立，若存在求k的最小值；若不存在请说明理由．

答案

（1）∵a₁=1，a_n+1=a_n+n（n∈N^*）
∴n≥2，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=(n-1)+(n-2)+…+1+1=

n(n-1)

2

+1=

1

2

n2-

1

2

n+1
∴an=

1

2

n2-

1

2

n+1（n∈N^*），（n+2）b_n+1=nb_n（n∈N^*）
∴

bn+1

bn

=

n

n+2

，
∴n≥2，bn=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

…

b2

b1

•b1=

n-1

n+1

•

n-2

n

…

1

3

•1=

2

n(n+1)

，
∴bn=

2

n(n+1)

（n∈N^*）

（2）c1=1，

c1

1

+

c2

22

+…+

cn

n2

=

cn+1

n+1

∴

c1

1

+

c2

22

+…+

cn-1

(n-1)2

=

cn

n

（n≥2）（n∈N^*）
两式相减得：

cn

n2

=

cn+1

n+1

-

cn

n

∴

cn+1

cn

=

(n+1)2

n2

，n=1，

c1

1

=

c2

2

得出c₂=2，n≥2
∴cn=

cn

cn-1

•

cn-1

cn-2

…

c3

c2

•c2=

n2

(n-1)2

•

(n-1)2

(n-2)2

…

32

22

•2=

n2

2

cn=

1，n=1 n2 2 ，n≥2，n∈N*

．
（3）当n=1时，k(a1+

7

2

)-3•

1

b2

＞c1+6+15
∴k＞

62

9

且k∈N^*k≥7且k∈N^*
当n≥2时，k(an+

7

2

)-

3

bn+1

＞cn+6n+15，即k(

n2

2

-

n

2

+

9

2

)-

3

2

(n+2)(n+1)＞

n2

2

+6n+15
k（n²-n+9）＞4n²+21n+36
∵n²-n+9＞0恒成立，
∴k＞

4n2+21n+36

n2-n+9

事实上：

4n2+21n+36

n2-n+9

=4+

25

n+ 9 n -1

n+

9

n

≥6（n=3取等号）
∴(

4n2+21n+36

n2-n+9

)max=9∴k＞9且k∈N^*．
综上：k≥10，k∈N^*故k的最小值为10．