已知向量a=(x2-3，1)，b=(x，-y)，（其中实数y和x不同时为零），当|x|＜2时，有a⊥b，当|x|≥2时，a∥b．（1）求函数式y=f（x）；（2 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：惠州模拟

已知向量

=(x2-3，1)，

=(x，-y)，（其中实数y和x不同时为零），当|x|＜2时，有

⊥

，当|x|≥2时，

∥

．
（1）求函数式y=f（x）；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若对∀x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0，求实数m的取值范围．

答案

（1）当|x|＜2时，由

⊥

得

•

=(x2-3)x-y=0，y=x³-3x；（|x|＜2且x≠0）
当|x|≥2时，由

∥

．得y=-

x2-3

∴y=f(x)=

x3-3x，(-2＜x＜2且x≠0)

3-x2

．(x≥2或x≤-2)

（2）当|x|＜2且x≠0时，由y"=3x²-3＜0，
解得x∈（-1，0）∪（0，1），
当|x|≥2时，y′=

(3-x2)-x(-2x)

(3-x2)2

3+x2

(3-x2)2

＞0
∴函数f（x）的单调减区间为（-1，1）；
（3）对∀x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0即m（x²-3）≥-x，
也就是m≥

3-x2

对∀x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）恒成立，
由（2）知当|x|≥2时，f′(x)=

(3-x2)-x(-2x)

(3-x2)2

3+x2

(3-x2)2

＞0
∴函数f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都单调递增
又f(-2)=

-2

3-4

=2，f(2)=

3-4

=-2
当x≤-2时f(x)=

3-x2

＞0，
∴当x∈（-∞，-2]时，0＜f（x）≤2同理可得，当x≥2时，有-2≤f（x）＜0，
综上所述得，对x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴实数m的取值范围为m≥2．

核心考点

试题【已知向量a=(x2-3，1)，b=(x，-y)，（其中实数y和x不同时为零），当|x|＜2时，有a⊥b，当|x|≥2时，a∥b．（1）求函数式y=f（x）；（2】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f(x)=

1+|x|

(x∈R)时，则下列结论不正确的是（　　）

A．∀x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立

B．∃m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实数根

C．∀x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）

D．∃k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点

题型：单选题难度：一般| 查看答案

下列命题中，错误命题的序号有______．
（1）“a=-1”是“函数f（x）=x²+|x+a+1|（ x∈R）为偶函数”的必要条件；
（2）“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的充分条件；
（3）已知a，b，c为非零向量，则“a•b=a•c”是“b=c”的充要条件；
（4）若p：∃x∈R，x²+2x+2≤0，则￢p：∀x∈R，x²+2x+2＞0．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）=|x+a|，g（x）=-|x-3|+1．
（1）解关于x的不等式f（x）+g（x）＞1；
（2）若对∀x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

若函数f（x）满足∃m∈R，m≠0，对定义域内的任意x，f（x+m）=f（x）+f（m）恒成立，则称f（x）为m函数，现给出下列函数：
①y=

； ②y=2x；③y=sinx；④y=1nx
其中为m函数的序号是______．（把你认为所有正确的序号都填上）

题型：填空题难度：一般| 查看答案

若定义在D上的函数y=f（x）满足条件：存在实数a，b（a＜b）且[a，b]⊊D，使得：
①任取x₀∈[a，b]，有f（x₀）=C（C是常数）；
②对于D内任意y₀，当y₀∉[a，b]，总有f（y₀）＜C．
我们将满足上述两条件的函数f（x）称为“平顶型”函数，称C为“平顶高度”，称b-a为“平顶宽度”．根据上述定义，解决下列问题：
（1）函数f（x）=-|x+2|-|x-3|是否为“平顶型”函数？若是，求出“平顶高度”和“平顶宽度”；若不是，简要说明理由．
（2）已知f(x)=mx-

x2+2x+n

，x∈[-2，+∞)是“平顶型”函数，求出m，n的值．
（3）对于（2）中的函数f（x），若f（x）=kx在x∈[-2，+∞）上有两个不相等的根，求实数k的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

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