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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=
2x
4x+1

(1)证明f(x)在(0,1)上为减函数;
(2)求函数f(x)在[-1,1]上的解析式;
(3)当λ取何值时,方程f(x)=λ在R上有实数解.
答案
(1)证明:设x1x2∈(0,1)且x1
x 2
 则

f(x1) -f(x2)=
2x1
4x1+1
-
2x2
4x2+1
=
2x1(4x2+1) -2x2(4x1+1)
(4x1+1)(4x2+1)
=
(2x2 -2x1)(2x1+x2-1) 
(4x1+1)(4x2+1)
…(3分)
0<x1
x 2
<1
,∴2x22x1 ,2x1+x2>1
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,1)上为减函数.…(4分)
(2)若x∈(-1,0)∴-x∈(0,1),∴f(-x)=
2-x
4-x+1

又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=
2-x
4-x+1
=-f(x)
f(x)=-
2-x
4-x+1
…(6分)
又∵f(-1)=f(1),且f(-1)=-f(1)∴f(1)=f(-1)=0
f(x)=





2x
4x+1
  x∈(0,1)
0 x=0,±1
2x
4x+1
x∈(-1,0) 
 
…(8分)
(3)若x∈(0,1),∴f(x)=
2x
4x+1
=
1
2x+
1
2x

又∵2x+
1
2x
∈(2,
5
2
)
,∴f(x)∈(
2
5
1
2
)
,…(10分)

若x∈(-1,0),∴f(x)=-
2x
4x+1
=-
1
2x+
1
2x
f(x)∈(-
1
2
,-
2
5
)

∴λ的取值范围是{λ|λ=0,或-
1
2
<λ<-
2
5
,或
2
5
<λ<
1
2
}
.…12 分
核心考点
试题【已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=2x4x+1.(1)证明f(x)在(0,1)上为减函数;(2)求函数f(x)】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中a,b∈R.
(Ⅰ)试判断当a,b为何值时,函数f(x)为偶函数;
(Ⅱ)当a=-
10
3
,b=0时,求函数f(x)在R上的最值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在(-5,-2)上是(  )
A.增函数
B.减函数
C.非单调函数
D.可能是增函数,也可能是减函数
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知定义在R上的函数f(x)满足以下条件:①f(1)=2;②当x>0时,f(x)>1;③对任何x,y∈R都有f(x+y)=f(x)f(y)求证:
(1)f(0)=1;
(2)当x<0时,0<f(x)<1;
(3)函数f(x)在R上是单调增函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ax2+bx+1,a,b为实数,a≠0,x∈R,F(x)=





f(x),x>0
-f(x),x<0

(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-1,1]时,g(x)=f(x)+kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)设mn<0,m+n>0,a>0,且函数f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)是否大于0.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[1,2]时,f(x)=3x-1则f[log
1
3
(33•4)]
的值为(  )
A.3
1
2
B.-3C.
4
3
D.
11
3
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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