已知函数f（x）=x|x-a|，a∈R是常数．
（1）若a=1，求y=f（x）在点P（-1，f（-1））处的切线；
（2）是否存在常数a，使f（x）＜2x+1对任意x∈（-∞，2）恒成立？若存在，求常数a的取值范围；若不存在，简要说明理由． |
（1）a=1时，f(x)=x|x-1|=，在点P（-1，f（-1））附近，
f（x）=x-x2，f/（x）=1-2x，所以P（-1，-2），k=f/（-1）=3，所求切线方程为y+2=3（x+1），即3x-y+1=0．
（2）f（x）＜2x+1即x|x-a|＜2x+1（*）
x=0时，（*）等价于0＜1，对任意a∈R恒成立．
0＜x＜2时，（*）等价于|x-a|＜2+，即x-2-＜a＜2+x+，2+x+≥4，等号当且仅当x=1时成立，
(x-2-)/=1+＞0，y=x-2-在0＜x＜2单调递增，x-2-＜-，所以-≤a＜4（9分）．
x＜0时，（*）等价于|x-a|＞2+，即a＞2+x+或a＜x-2-，2+x+=2-[(-x)+(-)]≤2-2=0，
等号当且仅当-x=1即x=-1时成立，所以a＞0，
y=x-2-在x＜0时的取值范围为R，所以a＜x-2-恒成立的a的解集为空集φ．
所以，常数a的取值范围为R∩{a|-≤a＜4}∩{a|a＞0}={a|0＜a＜4}． |
核心考点
试题【已知函数f（x）=x|x-a|，a∈R是常数．（1）若a=1，求y=f（x）在点P（-1，f（-1））处的切线；（2）是否存在常数a，使f（x）＜2x+1对任意】；主要考察你对
函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。
[详细]举一反三
已知A（1，f"（1））是函数y=f（x）的导函数图象上的一点，点B为（x，ln（x+1）），向量=(1，1)，令f(x)=•．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）若x＞0，证明：f(x)＞；
（3）若x∈[-1，1]时，不等式x2≤f(x2)+m2-m-3都恒成立，求实数m的取值范围． |
已知函数f（x）=x|x|+px+q（x∈R），给出下列四个命题：①f（x）为奇函数的充要条件是q=0；②f（x）的图象关于点（0，q）对称；③当p=0时，方程f（x）=0的解集一定非空；④方程f（x）=0的解的个数一定不超过两个．
其中所有正确命题的序号是______． |
已知函数g(x)=(x≠0，x≠±1，x∈R)的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x-2-x2（x∈A）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性并用定义证明；
（3）解不等式f（3x+1）＞f（5x+1）． |
已知α为锐角，且tanα=-1，函数f(x)=x2tan2α+x•sin(2α+)，数列{an}的首项a1=，an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）对任意n∈[1，4]，an≤(m2+m)都成立，求实数m的取值范围． |
| 设函数f（x）=|-x2+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值为m．若m≥k对任意的b、c恒成立，则k的最大值是（ ） |
