题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求a的取值范围;
(2)设F(x)=
|
答案
由于x∈[1,e],lnx≤1≤x,且等号不能同时取得,所以lnx<x,x-lnx>0.
从而a≤
x2-2x |
x-lnx |
x2-2x |
x-lnx |
设t(x)=
x2-2x |
x-lnx |
求导,得t′(x)=
(x-1)(x+2-lnx) |
(x-lnx)2 |
x∈[1,e],x-1≥0,lnx≤1,x+2-lnx>0,
从而t′(x)≥0,t(x)在[1,e]上为增函数.
所以t(x)min=t(1)=-1,所以a≤-1.…(8分)
(2)F(x)=
|
设P(t,F(t))为曲线y=F(x)上的任意一点.
假设曲线y=F(x)上存在一点Q(-t,F(-t)),使∠POQ为钝角,
则
OP |
OQ |
若t≤-1,P(t,-t3+t2),Q(-t,aln(-t)),
OP |
OQ |
由于
OP |
OQ |
当t=-1时,a(1-t)ln(-t)<1.恒成立.
当t<-1时,a<
1 |
(1-t)ln(-t) |
1 |
(1-t)ln(-t) |
若-1<t<1,t≠0,P(t,-t3+t2),Q(-t,t3+t2),
则
OP |
OQ |
t4-t2+1>0对-1<t<1,t≠0恒成立.…(14分)
③当t≥1时,同①可得a≤0.
综上所述,a的取值范围是(-∞,0]. …(16分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=-x3+x2,g(x)=alnx,a∈R.(1)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求a的取值范围;(2)设F(】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.6 | B.7 | C.8 | D.0 |
x f′(x)-f(x) |
x2 |
A.(-1,0) | B.(-1,0)∪(1,+∞) | C.(1,+∞) | D.(-∞,-1)∪(1,+∞) |
A.a>c>b | B.c>b>a | C.c>a>b | D.a>b>c |
2x+1 |
x+2 |
(1)求f(x)的表达式;
(2)若关于x的不等式f(x)≤nx-1的解集非空,求实数n的取值的集合A.
(3)若关于x的方程f(x)=nx-1的两根为x1,x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≤|x1-x2|对任意n∈A及t∈[-3,3]恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
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