题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常数，a＞0且a≠1）的图象经过点（1，6），（3，24）．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）若不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x≥m在（-∞，1]上恒成立，求实数m的最大值．

答案

（1）∵函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常数，a＞0且a≠1）的图象经过点（1，6），（3，24），
∴

b•a=6 b•a3=24

，解得a=2，b=3，
∴f（x）=3•2^x．
（2）∵a=2，b=3，不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x≥m在（-∞，1]上恒成立，
∴(

1

2

)x+(

1

3

)x≥m在（-∞，1]上恒成立，
设g（x）=(

1

2

)x+(

1

3

)x，
则g（x）在（-∞，1]上是减函数，
∴在（-∞，1]上，g（x）_min=g（1）=

1

2

+

1

3

=

5

6

．
∴mmax=

5

6

，
故实数m的最大值是

5

6

．