已知f（x）是定义在R上的函数，若对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+2f（2），且函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，f（1）=2，则f（2011 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：单选题难度：一般来源：安徽模拟

已知f（x）是定义在R上的函数，若对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+2f（2），且函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，f（1）=2，则f（2011）等于（　　）

A．2

B．3

C．4

D．6

答案

因为函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，
所以函数f（x）的图象关于直线x=0对称，即函数f（x）是偶函数，故有f（-x）=f（x）．
∵对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+2f（2），
∴f（-2+4）=f（-2）+2f（2）⇒f（-2）+f（2）=0⇒2f（2）=0⇒f（2）=0
∴f（x+4）=f（x）+2f（2）=f（x）．即函数周期为4．
∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1）=f（1）=2．
故选A．

核心考点

试题【已知f（x）是定义在R上的函数，若对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+2f（2），且函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，f（1）=2，则f（2011】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

设m、n为正整数，且m≠2，二次函数y=x²+（3-mt）x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为的d₁，二次函数y=-x²+（2t-n）x+2nt的图象与x轴的两个交点间的距离为d₂，如果d₁≥d₂对一切实数t恒成立，求m、n的值．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1的饱和函数”．有下列函数：
①f(x)=

；②f(x)=2x；
③f（x）=lg（x²+2）；
④f（x）=cosπx，
其中你认为是“1的饱和函数”的所有函数的序号为______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

（文）若实数x满足对任意正数a＞0，均有x²＜1+a，则x的取值范围是______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）=3x²-2x+1，g（x）=ax²，对任意的正实数x，f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

设函数f（x）在定义域R内恒有f（-x）+f（x）=0，当x≤0时，f(x)=

1+4x

+a，则f（1）=______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

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