题目

题型：填空题难度：一般来源：不详

已知f（x）=sinx+2x，x∈[-

π

2

，

π

2

]，且f（1+a）+f（2a）＜0，则a的取值范围是______．

答案

∵f（-x）=-sinx-2x=-f（x），
∴函数f（x）在其定义域[-

π

2

，

π

2

]上是奇函数
因此，不等式f（1+a）+f（2a）＜0可化成f（1+a）＜-f（2a）
即f（1+a）＞f（-2a），
∵函数f（x）=sinx+2x，求导数得f"（x）=cosx+2＞0
∴函数f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函数
由此可得原不等式等价于

- π 2 ≤1+a≤ π 2 - π 2 ≤-2a≤ π 2 1+a＜-2a

，解之得-

π

4

≤a＜-

1

3

即实数a的取值范围为[-

π

4

，-

1

3

）
故答案为：[-

π

4

，-

1

3

）