题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

证明：函数f（x）=-2x²+1是偶函数，且在[0，+∞）上是减少的．

答案

证明：函数f（x）的定义域为R，
对于任意的x∈R，都有f（-x）=-2（-x）²+1=-2x²+1=f（x），
∴f（x）是偶函数；
在区间[0，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则有
f（x₁）-f（x₂）=(-2x12+1)-(-2x22+1)=2(x22-x12)=2（x₂+x₁）（x₂-x₁），
∵x₁，x₂∈[0，+∞），x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＞0，
即2（x₂-x₁）•（x₁+x₂）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在[0，+∞）上是减少的．