题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证：f(x)是奇函数；
（2）如果x∈R⁺，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.

答案

（1）证明渐近线（2）f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.

解析

（1）证明∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.
∵f（x+y）-f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,
∴f(0)-f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
（2）解 方法一 设x,y∈R⁺，∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R⁺，f（x）＜0,
∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).
∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，
∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.
∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.
方法二 设x₁＜x₂,且x₁,x₂∈R.
则f(x₂-x₁)=f［x₂+(-x₁)］=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂)-f(x₁).
∵x₂-x₁＞0,∴f(x₂-x₁)＜0.∴f(x₂)-f(x₁)＜0.即f(x)在R上单调递减.
∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-，
∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.