题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(Ⅰ) 证明:对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1;
(Ⅱ) 设(Ⅰ)中的p的最大值为g(a),求g(a)的最大值.
答案
(Ⅱ)
解析
试题分析:
(Ⅰ) 由于f ′(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x+1)(x-a),且a>0,
故f (x)在[0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.
又f (0)=1,f (a)=-a3-a2+1=(1-a)(a+2) 2-1.
当f (a)≥-1时,取p=a.
此时,当x∈[0,p]时有-1≤f (x)≤1成立.
当f (a)<-1时,由于f (0)+1=2>0,f (a)+1<0,
故存在p∈(0,a)使得f (p)+1=0.
此时,当x∈[0,p]时有-1≤f (x)≤1成立.
综上,对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1. 7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0,+∞)上的最小值为f (a).
当0<a≤1时,f (a)≥-1,则g(a)是方程f (p)=1满足p>a的实根,
即2p2+3(1-a)p-6a=0满足p>a的实根,所以
g(a)=.
又g(a)在(0,1]上单调递增,故g(a)max=g(1)=.
当a>1时,f (a)<-1.
由于f (0)=1,f (1)=(1-a)-1<-1,故[0,p]Ì [0,1].
此时,g(a)≤1.
综上所述,g(a)的最大值为. 15分
点评:研究函数的性质往往离不开导数,导数是研究函数性质的有力工具,要灵活运用;另外,函数如果含参数,一般离不开分类讨论,分类讨论时要做到不重不漏.
核心考点
试题【已知函数f (x)=x3+(1-a)x2-3ax+1,a>0.(Ⅰ) 证明:对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1;(Ⅱ) 设(】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. | B. | C. | D. |
A. | B. |
C. | D. |
A.f(-π)>f(3)>f(-2) | B.f(-π)>f(-2)>f(3) |
C.f(-π)<f(3)<f(-2) | D.f(-π)<f(-2)<f(3) |
当时,,则=( )
A.1-e | B.e-1 | C.-l-e | D.e+l |
A.1-e | B.e-1. | C.-l-e | D.e+l |
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