题目

题型：解答题难度：一般来源：期末题

函数f(x)=2x-的定义域为(0，1](a为实数)，
(1)当a=-1时，求函数y=f(x)的值域；
(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围；
(3)求函数y=f(x)在x∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．

答案

解：(1)显然函数y=f(x)的值域为；
(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数，
则任取x₁，x₂∈(0，1]且x₁＜x₂都有f(x₁)＞f(x₂)成立，
即，
只要a＜-2x₁x₂即可，由x₁，x₂∈(0，1]，
故-2x₁x₂∈(-2，0)，所以a≤-2，
故a的取值范围是(-∞，-2]。
(3)当a≥0时，函数y=f(x)在(0，1]上单调减，无最小值，
当x=1时取得最大值2-a；
由(2)得当a≤-2时，函数y=f(x)在(0，1]上单调减，无最大值，
当x=1时取得最小值2-a；
当-2＜a＜0时，函数y=f(x)在上单调减，在上单调增，无最大值，
当时，取得最小值。