题目

题型：解答题难度：一般来源：月考题

已知函数f（x）=a|x+1|+x（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，f（x）在[b，+∞）上为增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）若函数f （x）在 R 上具有单调性，求a的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）= ，
所以f（x）的单调递增区间是[﹣1，+∞），
因为f（x）在[b，+∞）上为增函数，
所以[b，+∞）[﹣1，+∞），
故b≥﹣1
（Ⅱ）化简 
①﹣1＜a＜1时，
当x≥﹣1时，f（x）=（a+1）x+a是增函数，且f（x）≥f（﹣1）=﹣1；
当x＜﹣1时，f（x）=（1﹣a）x﹣a是增函数，且f（x）＜f（﹣1）=﹣1．
所以，当﹣1＜a＜1时，函数f （x） 在R上是增函数．
②a=1或﹣1时，易知不合题意．
③当a＞1时，f（x）在[﹣1，+∞）为增函数，而在（﹣∞，﹣1）上为减函数，
故函数f（x）在R上不具有单调性；
同理，当a＜1时，函数f（x）在R上也不具有单调性．
综上可知，a的取值范围是 （﹣1，1）