题目

题型：解答题难度：一般来源：山东省月考题

已知函数f（x）=a﹣．
（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）=a﹣ ，
设0＜x₁＜x₂，则x₁x₂＞0，x₂﹣x₁＞0．
f（x₁）﹣f（x₂）=（a﹣ ）﹣（a﹣ ）= ﹣  = ＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）由题意a﹣ ＜2x在（1，+∞）上恒成立，
设h（x）=2x+ ，则a＜h（x）在（1，+∞）上恒成立．
可证h（x）在（1，+∞）上单调递增．
故a≤h（1），即a≤3，
∴a的取值范围为（﹣∞，3]．