题目

题型：解答题难度：一般来源：江苏省期末题

已知f（x）=x⁴﹣4x³+（3+m）x²﹣12x+12，m∈R．
（1）若f"（1）=0，求m的值，并求f（x）的单调区间；
（2）若对于任意实数x，f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．

答案

解：（1）∵f（x）=x⁴﹣4x³+（3+m）x²﹣12x+12，m∈R，
∴f"（x）=4x³﹣12x²+2（3+m）x﹣12，
∴f"（1）=4﹣12+2（3+m）﹣12=0，
解得m=7．
∴f"（x）=4x³﹣12x²+20x﹣12=4（x﹣1）（x²﹣2x+3），
方程x²﹣2x+3=0的判别式△=2²﹣3×4=﹣8＜0，
∴x²﹣2x+3＞0，
所以f"（x）=0，解得x=1，
列表讨论

由此可得f（x）的单调减区间是（﹣∞，1），f（x）单调增区间是（1，+∞）．
（2）f（x）=x⁴﹣4x³+（3+m）x²﹣12x+12=（x²+3）（x﹣2）²+（m﹣4）x²，
当m＜4时，f（2）=4（m﹣4）＜0，不合题意，
当m≥4时，f（x）=（x²+3）（x﹣2）²+（m﹣4）x²≥0，对一切实数x恒成立，
所以，m的取值范围是[4，+∞）．