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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数y=f(x)的定义域为全体R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y)成立,数列{an}满足a1=f(0),且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*
(1)求证:y=f(x)是R上的减函数.
(2)求证:{an}是等差数列,并求通项an
(3)若不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥k


2n+1
对一切n∈N*均成立,求k的最大值.
答案
(1)令x=-1,y=0,得f(-1)=f(-1)•f(0),
由题意知f(-1)≠0,所以f(0)=1,故a1=f(0)=1.
当x>0时,-x<0,f(0)=f(-x)•f(x)=1,进而得0<f(x)<1.
设x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0,0<f(x2-x1)<1,f(x2)-f(x1)=f(x1+(x2-x1))-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0.
即f(x2)<f(x1),所以y=f(x)是R上的减函数.

(2)由f(an+1)=
1
f(-2-an)
得f(an+1)f(-2-an)=1,
所以f(an+1-an-2)=f(0).
因为y=f(x)是R上的减函数,所以an+1-an-2=0,
即an+1-an=2,
所以{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.
所以an=1+(n-1)×2=2n-1.

(3)由(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)(1+
1
an
)≥k


2n+1
对一切n∈N*均成立.
k≤
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)(1+
1
an
)


2n+1
对一切n∈N*均成立.
F(n)=
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)(1+
1
an
)


2n+1

知F(n)>0且F(n+1)=
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)(1+
1
an
)(1+
1
an+1
)


2n+3

F(n+1)
F(n)
=
2(n+1)


2n+1


2n+3
=
2(n+1)


4(n+1)2-1
>1

故F(n)为关于n的单调增函数,F(n)≥F(1)=
2


3
3

所以k≤
2


3
3
,k的最大值为
2


3
3
核心考点
试题【设函数y=f(x)的定义域为全体R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y)成立,数列{an}满足a1=f(0),且】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=ax+a-x(a>0,a≠1),且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,….
(Ⅰ)若a1=1,a2=3,且对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列,证明:数列{an}是公比为q的等比数列;
(Ⅲ) (理科)在(Ⅰ)的条件下,求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥p


2n+1
对一切n∈N*均成立的最大实数p.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)对一切x∈R都有f(2+x)=f(2-x),且f(1)=
7
2
,f(x)的最大值为
9
2

(1)求a和b,c的值;
(2)解不等式f[logc(x2+x+
1
2
)]<f[logc(2x2-x+
5
8
)]
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=lnx,g(x)=x+
a
x
(a∈R).
(1)求f(x)-g(x)的单调区间;
(2)若x≥1时,f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当n∈N*,n≥2时,证明:
ln2
3
ln3
4
•…•
lnn
n+1
1
n
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存 在,求出a的值;若不存在,说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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