题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数y=f（x）是定义在R⁺上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(

1

3

)=1．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．

答案

（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（4分）
（2）∵f(

1

3

)=1
∴f(

1

9

)=f(

1

3

×

1

3

)=f(

1

3

)+f(

1

3

)=2
∴f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]＜f(

1

9

)，
又由y=f（x）是定义在R⁺上的减函数，得：

x(2-x)＞ 1 9 x＞0 2-x＞0

解之得：x∈(1-

2 2

3

，1+

2 2

3

)．   …（12分）