题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

x2+4x x≥0 4x-x2 x＜0

（1）判断函数f（x）奇偶性与单调性，并说明理由；
（2）若f（2-a²）＞f（a），求实数a的取值范围．

答案

（1）函数为f（x）奇函数
∵函数f(x)=

x2+4x x≥0 4x-x2 x＜0

当x＞0时，-x＜0
∴f（-x）=4（-x）-（-x）²=-（x²+4x）=-f（x）
当x=0时，-x=0
∴f（-x）=0=-f（x）
当x＜0时，-x＞0
∴f（-x）=（-x）²+4（-x）-=-（4x-x²）=-f（x）
故f（-x）=-f（x）恒成立
故函数为f（x）奇函数
在区间[0，+∞）上，f"（x）=2x+4＞0恒成立
故f（x）在区间[0，+∞）上单调递增
又由奇函数的性质，我们易得函数是定义在R上的单调增函数
（2）由函数f(x)=

x2+4x x≥0 4x-x2 x＜0

是定义在R上的单调增函数
故f（2-a²）＞f（a），
可化为2-a²＞a
解得：-2＜a＜1