题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=(2cos

x

2

，-2sin

x

2

)，且x∈(-

π

9

，

2π

9

]．
求：（1）

a

•

b

和|

a

-

b

|的取值范围；
（2）函数f（x）=

a

•

b

-|

a

-

b

|的最小值．

答案

（1）∵

a

=（cosx，sinx），

b

=(2cos

x

2

，-2sin

x

2

)
∴a•b=cosx•2cos

x

2

+sinx•(-sin

x

2

)=2(cosx•cos

x

2

-sinx•sin

x

2

)=2cos

3x

2

又∵x∈(-

π

9

，

2π

9

]，
∴

3x

2

∈(-

π

6

，

π

3

]⇒cos

3x

2

∈[

1

2

，1]
∴2cos

3x

2

∈[1，2]即

a

•

b

∈[1，2]
∵|a-b|=

|a-b|2

=

(a-b)2

=

a2-2a•b+b2

=

(cos2x+sin2x)+(4cos2 x 2 +4sin2 x 2 )-2•2cos 3x 2

=

1+4-4cos 3x 2

=

5-4cos 3x 2

又∵cos

3x

2

∈[

1

2

，1]∴-4cos

3x

2

∈[-4，-2]
∴

5-4cos 3x 2

∈[1，

3

]；
（2）由（1）知：f（x）=

a

•

b

-|

a

-

b

|=2cos

3x

2

-

5-4cos 3x 2

设

5-4cos 3x 2

=t，则t2=5-4cos

3x

2

，2cos

3x

2

=

5-t2

2

∴f(x)=

5-t2

2

-t=-

1

2

t2-t+

5

2

=-

1

2

(t2+2t+1)+

5

2

+

1

2

=-

1

2

(t+1)2+3(t∈[1，

3

])
∴由图象可知：当t=

3

时，函数f（x）取得最小值f(x)min=-

1

2

(

3

+1)2+3=1-

3

．