题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

ax-1

x+1

，  其中 a∈R．
（1）当a=1时，求函数满足f（x）≤1时的x的集合；
（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．

答案

（1）当a=1时，f（x）≤1⇒

x-1

x+1

≤1⇒x＞-1，
故满足条件的集合为{x|x＞-1}．
（2）在区间（0，+∞）上任取x₁，x₂，
则f(x2)-f(x1)=

ax2-1

x2+1

-

ax1-1

x1-1

=

(a+1)(x2-x1)

(x2+1)(x1+1)

，
因x₂＞x₁故x₂-x₁＞0，又在（0，+∞）上x₂+1＞0，x₁+1＞0，
∴只有当a+1＜0时，即a＜-1时，才总有f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴当a＜-1时，f（x）在（0，+∞）上是单调减函数．