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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
2x
2x-1+21-x
+a
(a∈R)
(1)若f(1)=1,求实数a的值并计算f(-1)+f(3)的值;
(2)若不等式f(x)≥0对任意的x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当a=-1时,设g(x)=f(x+b),是否存在实数b使g(x)为奇函数.若存在,求出b的值;若不存在,说明理由.
答案
(本题12分)
(1)∵f(1)=1,
21
20+20
+a=1
,即1+a=1,∴a=0
f(x)=
2x
2x-1+21-x

f(-1)+f(3)=
2-1
2-2+22
+
23
22+2-2
=2

(2)∵f(x)≥0,即
2x
2x-1+21-x
+a≥0

亦即a≥-
2x
2x-1+21-x
对任意的x∈[1,+∞)恒成立,
h(x)=-
2x
2x-1+21-x

h(x)=-
2x
2x-1+21-x
=-
1
2-1+21-2x
=-
1
1
2
+
2
22x

∴h(x)在x∈[1,+∞)时是增函数,所以hmin(x)=h(1)=-1
∴a≥-1即可.
故实数a的取值范围是[-1,+∞).
(3)∵a=-1,
f(x)=
2x
2x-1+21-x
-1=
2x-2x-1-21-x
2x-1+21-x
=
2x-1-21-x
2x-1+21-x

g(x)=f(x+b)=
2x+b-1-21-b-x
2x+b-1+21-b-x

方法一:
∵g(x)是奇函数,且x∈R,∴g(0)=0
g(0)=
2b-1-21-b
2b-1+21-b
=0
,∴2b-1=21-b,即2b-1=1,所以b=1.
当b=1时,g(x)=
2x-2-x
2x+2-x
,∵g(-x)=
2-x-2x
2-x+2x
=-
2x-2-x
2x+2-x
=-g(x)

∴g(x)是奇函数.
故存在b=1,使g(x)是奇函数.
方法二:
∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x),令b-1=c
2-x+c-2-c+x
2-x+c+2-c+x
=-
2x+c-2-c-x
2x+c+2-c-x

∴22c+2-2x-22x-2-2c=-(22c+22x-2-2x-2-2c
∴22c-2-2c=0,即24c=1,即c=0,即b=1.
方法三:【这种做法也给分】
当b=1时,g(x)=
2x-2-x
2x+2-x

g(-x)=
2-x-2x
2-x+2x
=-
2x-2-x
2x+2-x
=-g(x)
,∴g(x)是奇函数.
所以存在b=1,使g(x)是奇函数.
核心考点
试题【已知函数f(x)=2x2x-1+21-x+a(a∈R)(1)若f(1)=1,求实数a的值并计算f(-1)+f(3)的值;(2)若不等式f(x)≥0对任意的x∈[】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=
2x+1
x+1

(1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大与最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
f(x)=





2x+2(-1≤x<0)
-
1
2
x(0<x<2)
f(f(f(-
3
4
)))
的值为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(log2x)=
-x+a
x+1

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断并证明f(x)在定义域R上的单调性;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=|x|•(x+a)(a∈R)是奇函数.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)设b>0,若函数f(x)在区间[-b,b]上最大值与最小值的差为b,求b的值.
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判断函数y=-x3+1在R上的单调性并给予证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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