当前位置:高中试题 > 数学试题 > 函数的单调性与最值 > 设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y,均有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0.(1)...
题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y,均有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0.
(1)求f(
1
2
)
的值,试判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性,并加以证明;
(2)一个各项均为正数的数列{an},它的前n项和是Sn,若a1=3,且f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1(n≥2,n∈N*),求数列{an}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,是否存在实数M,使2na1a2an≥M•


2n+3
•(2a1-1)•(2a2-1)…(2an-1)
对于一切正整数n均成立?若存在,求出M的范围;若不存在,请说明理由.
答案
(1)令x=y=1,得f(1)=0;令x=2,y=
1
2
,得f(
1
2
)=-1
(2分)
y=f(x)在(0,+∞)上单调递增.下面证明:
任取0<x1<x2,则
x2
x1
>1

∵当x>1时,f(x)>0,∴f(
x2
x1
)>0

在已知式中令x=x1,y=
x2
x1
,得f(x2)-f(x1)=f(
x2
x1
)>0
,即证.(4分)
(2)当n≥2时,∵f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1
∴f(Sn)+1=f(an)+f(an+1),即f(2Sn)=f(an(an+1))
∵y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴2Sn=an(an+1)(6分)
∴2Sn+1=an+1(an+1+1)
两式相减得:2an+1=
a2n+1
+an+1-
a2n
-an
,即(an+1+an)(an+1-an-1)=0∵an>0,
∴an+1-an=1∴数列{an}从第二项起,是以1为公差的等差数列…(7分)
又在2Sn=an(an+1)中令n=2可得:a2=3
综上,an=





3,n=1
n+1,n≥2
.(8分)
(3)n=1时,2×3≥M•


5
•5,M≤
6


5
25
(9分)
n≥2时,2n•3•3•4…(n+1)≥M


2n+3
•5•5•7…(2n+1)

M≤
2n•3•3•4…(n+1)


2n+3
•5•5•7…(2n+1)

bn=
2n•3•3•4…(n+1)


2n+3
•5•5•7…(2n+1)

bn+1
bn
=
2(n+2)


2n+3
(2n+3)


2n+5
=


4n2+16n+16


4n2+16n+15
>1

∴{bn}是递增数列
M≤b2=
36


7
25×7
6


5
25

M≤
36


7
175
(12分)
核心考点
试题【设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y,均有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0.(1)】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
若定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,且f(
1
3
)=2.那么不等式f(log
1
8
x
)>2的解集为(  )
A.(
1
2
,1)∪(2,+∞)
B.(0,
1
2
)∪(2,+∞)
C.(0,
1
2
)
D.(2,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2x∈[t,t+2],若对任意的,不等式f(x)≤
1
2
f(x+t)
恒成立,则实数t的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=-f(x),且在[0,1]上是增函数,下面关于f(x)的判断:
①f(x)是周期函数;
②f(x)的图象关于直线x=1对称;
③f(x)在[1,2]上是减函数;
④f(x)在[-2,0]上是减函数.
其中正确的判断是______(把你认为正确的判断都填上).
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数y=f(x)(x∈R)满足:对一切x∈R,f(x)≥0,f(x+1)=


7-f2(x)
,当x∈[0,1)时,f(x)=





x+2(0≤x<


5
-2)


5
(


5
-2≤x<1)
则f(2011-


3
)
=(  )
A.


2
B.2-


3
C.2+


3
D.2


2


3
-3
题型:单选题难度:简单| 查看答案
定义在R上的偶函数f(x),当x≥0时有f(2+x)=f(x),且x∈[0,2)时,f(x)=2x-1,则f(2010)+f(-2011)=(  )
A.-2B.-1C.0D.1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.