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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=
4x
2+4x

(1)用定义证明:函数f(x)是R上的增函数;
(2)证明:对任意的实数t,都有f(t)+f(1-t)=1;
(3)求值:f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+
+f(
2011
2012
)
答案
(1)证明:设任意x1<x2
则f(x1)-f(x2)=
4x1
2+4x1
-
4x2
2+4x2
=
2(4x1-4x2)
(2+4x1)(2+4x2)

∵x1<x2
4x14x2,∴4x1-4x2<0
2+4x1>0,2+4x2>0
∴f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),…(4分)
∴f(x)在R上是增函数                                   …(6分)
(2)对任意t,f(t)+f(1-t)=
4t
2+4t
-
4t-1
2+4t-1
=
4t
2+4t
-
4
24t+4
=
2+4t
2+4t
=1.
∴对于任意t,f(t)+f(1-t)=1                                 …(10分)
(3)∵由(2)得f(t)+f(1-t)=1
f(
1
2012
)+f(
2011
2012
)=1
f(
2
2012
)+f(
2010
2012
)=1

f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)
+f(
2011
2012
)+f(
2010
2012
)+f(
2009
2012
)+…+f(
1
2012
)
=2011,
f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)
=
2011
2
…(14分)
核心考点
试题【设函数f(x)=4x2+4x,(1)用定义证明:函数f(x)是R上的增函数;(2)证明:对任意的实数t,都有f(t)+f(1-t)=1;(3)求值:f(1201】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
若定义在R上的函数f(x)同时满足下列三个条件:
①对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)+f(b)成立;
f(4)=
1
4

③当x>0时,都有f(x)>0成立.
(1)求f(0),f(8)的值;
(2)求证:f(x)为R上的增函数;
(3)求解关于x的不等式f(x-3)-f(3x-5)≤
1
2
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已知g(x)=x2+1,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)为奇函数,当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值为
1
2
,求f(x)的表达式.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x-
1
3
+ln
1-x
1+x

(1)求f(2009)+f(-2009)的值;
(2)当x∈(0,a](其中a∈(0,1),且a为常数)时,f(x)是否存在最小值,若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
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函数f(x)(x∈R+)满足下列条件:①f(a)=1(a>1)②f(xm)=mf(x).
(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y);
(2)证明:f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(3)若不等式f(x)+f(3-x)≤2恒成立,求实数a的取值范围.
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定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,且f(1-m)<f(m),则m∈______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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