设函数f(x)=4x2+4x，（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；（2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1-t）=1；（3）求值：f(1201 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f(x)=

2+4x

，
（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；
（2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1-t）=1；
（3）求值：f(

2012

)+f(

2012

)+f(

2012

)+…+f(

2011

2012

)．

答案

（1）证明：设任意x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

4x1

2+4x1

4x2

2+4x2

2(4x1-4x2)

(2+4x1)(2+4x2)

，
∵x₁＜x₂，
∴4x1＜4x2，∴4x1-4x2＜0，
又2+4x1＞0，2+4x2＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），…（4分）
∴f（x）在R上是增函数 …（6分）
（2）对任意t，f（t）+f（1-t）=

2+4t

4t-1

2+4t-1

2+4t

24t+4

2+4t

=1．
∴对于任意t，f（t）+f（1-t）=1 …（10分）
（3）∵由（2）得f（t）+f（1-t）=1
∴f(

2012

)+f(

2011

2012

)=1，f(

2012

)+f(

2010

2012

)=1，
∴f(

2012

)+f(

2012

)+f(

2012

)+…+f(

2011

2012

)+f(

2011

2012

)+f(

2010

2012

)+f(

2009

2012

)+…+f(

2012

)=2011，
∴f(

2012

)+f(

2012

)+f(

2012

)+…+f(

2011

2012

2011

…（14分）

核心考点

试题【设函数f(x)=4x2+4x，（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；（2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1-t）=1；（3）求值：f(1201】；主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

若定义在R上的函数f（x）同时满足下列三个条件：
①对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）+f（b）成立；
②f(4)=

；
③当x＞0时，都有f（x）＞0成立．
（1）求f（0），f（8）的值；
（2）求证：f（x）为R上的增函数；
（3）求解关于x的不等式f(x-3)-f(3x-5)≤

．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知g（x）=x²+1，f（x）是二次函数，且f（x）+g（x）为奇函数，当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为

，求f（x）的表达式．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）=x-

+ln

1-x

1+x

（1）求f（2009）+f（-2009）的值；
（2）当x∈（0，a]（其中a∈（0，1），且a为常数）时，f（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

函数f（x）（x∈R⁺）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（x^m）=mf（x）．
（1）求证：f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）若不等式f（x）+f（3-x）≤2恒成立，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

定义在[-2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上是减函数，且f（1-m）＜f（m），则m∈______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

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