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题目
题型:解答题难度:一般来源:通州区一模
现有一组互不相同且从小到大排列的数据a0,a1,a2,a3,a4,a5,其中a0=0.记T=a0+a1+a2+a3+a4+a5xn=
n
5
yn=
1
T
(a0+a1+…+an)
(n=0,1,2,3,4,5),作函数y=f(x),使其图象为逐点依次连接点Pn(xn,yn)(n=0,1,2,3,4,5)的折线.
(Ⅰ)求f(0)和f(1)的值;
(Ⅱ)设直线Pn-1Pn的斜率为kn(n=1,2,3,4,5),判断k1,k2,k3,k4,k5的大小关系;
(Ⅲ)证明:当x∈(0,1)时,f(x)<x.
答案
(Ⅰ)f(0)=
a0
a0+a1+a2+a3+a4+a5
=0
,…(2分)
f(1)=
a0+a1+a2+a3+a4+a5
a0+a1+a2+a3+a4+a5
=1
;   …(4分)
(Ⅱ)kn=
yn-yn-1
xn-xn-1
=
5
T
an
,n=1,2,3,4,5.   …(6分)
因为 a0<a1<a2<a3<a4<a5
所以 k1<k2<k3<k4<k5.           …(8分)
(Ⅲ)证:由于f(x)的图象是连接各点Pn(xn,yn)(n=0,1,2,3,4,5)的折线,
要证明f(x)<x(0<x<1),只需证明f(xn)<xn(n=1,2,3,4).…(9分)
事实上,当x∈(xn-1,xn)时,f(x)=
f(xn)-f(xn-1)
xn-xn-1
•(x-xn-1)+f(xn-1)
=
xn-x
xn-xn-1
f(xn-1)+
x-xn-1
xn-xn-1
f(xn)
xn-x
xn-xn-1
xn-1+
x-xn-1
xn-xn-1
xn
=x.
下面证明f(xn)<xn
法一:对任何n(n=1,2,3,4),5(a1+a2+…+an)=[n+(5-n)](a1+a2+…+an)…(10分)=n(a1+a2+…+an)+(5-n)(a1+a2+…+an)≤n(a1+a2+…+an)+(5-n)nan…(11分)=n[a1+a2+…+an+(5-n)an]<n(a1+a2+…+an+an+1+…+a5)=nT…(12分)
所以 f(xn)=
a1+a2+…+an
T
n
5
=xn
.…(13分)
法二:对任何n(n=1,2,3,4),
当kn<1时,yn=(y1-y0)+(y2-y1)+…+(yn-yn-1)=
1
5
(k1+k2+…+kn)<
n
5
=xn
;…(10分)
当kn≥1时,yn=y5-(y5-yn)=1-[(yn+1-yn)+(yn+2-yn+1)+…+(y5-y4)]=1-
1
5
(kn+1+kn+2+…+k5)
<1-
1
5
(5-n)=
n
5
=xn

综上,f(xn)<xn.           …(13分)
核心考点
试题【现有一组互不相同且从小到大排列的数据a0,a1,a2,a3,a4,a5,其中a0=0.记T=a0+a1+a2+a3+a4+a5,xn=n5,yn=1T(a0+a】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知正实数x,y,z满足2x(x+
1
y
+
1
z
)=yz
,则(x+
1
y
)(x+
1
z
)
的最小值为______.
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△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若b2+c2-a2=
1
2
bc
,求cosA的值;
(Ⅱ)若A∈[
π
2
3
],求sin2
B+C
2
+cos2A
的取值范围.
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函数y=log
1
2
|x-3|的单调递减区间是______.
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有下列几个命题:
①函数y=2x2+x+1在(0,+∞)上不是增函数;②函数y=
1
x+1
在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是减函数;③函数y=


5+4x-x2
的单调区间是[-2,+∞);④已知f(x)在R上是增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).其中正确命题的序号是______.
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如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(
1
2
,1)上是增函数,求f(2)的取值范围.
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