题目
题型:解答题难度:一般来源:崇文区一模
x1+x2 |
2 |
f(x1)+f(x2) |
2 |
(Ⅰ)已知f(x)=ln(1+ex)-x(x∈R),判断f(x)是否是“凹函数”,若是,请给出证明;若不是,请说明理由;
(Ⅱ)已知f(x)=ln(1+ex)-x是定义域在R上的减函数,且A、B、C是其图象上三个不同的点,求证:△ABC是钝角三角形.
答案
则f(x1)+f(x2)-2f(
x1+x2 |
2 |
=ln(1+ex1)+ln(1+ex2)-x1-x2-2[ln(1+e
x1+x2 |
2 |
x1+x2 |
2 |
=ln(1+ex1)(1+ex2)-ln(1+e
x1+x2 |
2 |
=ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2e
x1+x2 |
2 |
∵ex1>0,ex2>0,且x1≠x2
∴ex1+ex2>2
ex1ex2 |
x1+x2 |
2 |
∴1+ex1+ex2+ex1+x2>1+2e
x1+x2 |
2 |
∴ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)>ln(2+2e
x1+x2 |
2 |
∴ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2e
x1+x2 |
2 |
∴f(x1)+f(x2)>2f(
x1+x2 |
2 |
(Ⅱ)证明:(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),C((x3,y3),
且x1<x2<x3,∵f(x)是x∈R上的单调减函数∴f(x1)>f(x2)>f(x3)
∴
BA |
BC |
∵x1-x2<0,x3-x2>0,f(x1)-f(x2)>0,f(x3)-f(x2)<0
∴
BA |
BC |
故△ABC为钝角三角形.(13分)
核心考点
试题【如果函数f(x)在区间D上有定义,且对任意x1,x2∈D,x1≠x2,都有f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2,则称函数f(x)在区间D上的“凹函数”.】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是减函数.
(2)f(2)=-
1 |
2 |
π |
2 |
当x∈(-
π |
2 |
π |
2 |
A.c<b<a | B.b<c<a | C.a<c<b | D.c<a<b |
1 |
2 |
A.2 | B.1 | C.
| D.
|
A.是正数 |
B.是负数 |
C.是零 |
D.可能是正数也可能是负数或是零 |
|
π |
4 |
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