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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
ax
x+b
,且f(1)=1,f(-2)=4.
(1)求a、b的值;
(2)已知定点A(1,0),设点P(x,y)是函数y=f(x)(x<-1)图象上的任意一点,求|AP|的最小值,并求此时点P的坐标;
(3)当x∈[1,2]时,不等式f(x)≤
2m
(x+1)|x-m|
恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)由f(1)=1,f(-2)=4.





a=b+1
-2a=4b-8

解得:





a=2
b=1
(3分)
(2)由(1)f(x)=
2x
x+1

所以|AP|2=(x-1)2+y2=(x-1)2+4(
x
x+1
)2

令x+1=t,t<0,
|AP|2=(t-2)2+4(1-
1
t
)2=t2+
4
t2
-4(t+
2
t
)+8

=(t+
2
t
)2-4(t+
2
t
)+4=(t+
2
t
-2)2

因为x<-1,所以t<0,
所以,当t+
2
t
≤-2


2

所以|AP|2≥(-2


2
-2)2
,(8分)
即AP的最小值是2


2
+2
,此时t=-


2
x=-


2
-1

点P的坐标是(-


2
-1,2+


2
)
.(9分)
(3)问题即为
2x
x+1
2m
(x+1)|x-m|
对x∈[1,2]恒成立,
也就是x≤
m
|x-m|
对x∈[1,2]恒成立,(10分)
要使问题有意义,0<m<1或m>2.
法一:在0<m<1或m>2下,问题化为|x-m|≤
m
x
对x∈[1,2]恒成立,
m-
m
x
≤x≤
m
x
+m
对x∈[1,2]恒成立,mx-m≤x2≤mx+m对x∈[1,2]恒成立,
①当x=1时,
1
2
≤m<1
或m>2,
②当x≠1时,m≥
x2
x+1
m≤
x2
x-1
对x∈(1,2]恒成立,
对于m≥
x2
x+1
对x∈(1,2]恒成立,等价于m≥(
x2
x+1
)max

令t=x+1,x∈(1,2],则x=t-1,t∈(2,3],
x2
x+1
=
(t-1)2
t
=t+
1
t
-2
,t∈(2,3]递增,
(
x2
x+1
)max=
4
3
m≥
4
3
,结合0<m<1或m>2,
∴m>2
对于m≤
x2
x-1
对x∈(1,2]恒成立,等价于m≤(
x2
x-1
)min

令t=x-1,x∈(1,2],则x=t+1,t∈(0,1],
x2
x-1
=
(t+1)2
t
=t+
1
t
+2
,t∈(0,1]递减,
(
x2
x-1
)min=4

∴m≤4,
∴0<m<1或2<m≤4,
综上:2<m≤4(16分)
法二:问题即为
2x
x+1
2m
(x+1)|x-m|
对x∈[1,2]恒成立,
也就是x≤
m
|x-m|
对x∈[1,2]恒成立,(10分)
要使问题有意义,0<m<1或m>2.
故问题转化为x|x-m|≤m对x∈[1,2]恒成立,
令g(x)=x|x-m|
①若0<m<1时,由于x∈[1,2],故g(x)=x(x-m)=x2-mx,g(x)在x∈[1,2]时单调递增,
依题意g(2)≤m,m≥
4
3
,舍去;
②若m>2,由于x∈[1,2],故g(x)=x(m-x)=-(x-
m
2
)2+
m2
4

考虑到
m
2
>1
,再分两种情形:
(ⅰ)1<
m
2
≤2
,即2<m≤4,g(x)的最大值是g(
m
2
)=
m2
4

依题意
m2
4
≤m
,即m≤4,
∴2<m≤4;
(ⅱ)
m
2
>2
,即m>4,g(x)在x∈[1,2]时单调递增,
故g(2)≤m,
∴2(m-2)≤m,
∴m≤4,舍去.
综上可得,2<m≤4(16分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=axx+b,且f(1)=1,f(-2)=4.(1)求a、b的值;(2)已知定点A(1,0),设点P(x,y)是函数y=f(x)(x<-1)图象】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
设f(x)定义域为D,若满足(1)f(x)在D内是单调函数(2)存在[a,b]⊆D使f(x)在x∈[a,b]值域为[a,b],则称f(x)为D上的闭函数.当f(x)=k+


x+2
为闭函数时,k的范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x)为定义在R上的增函数,且不等式f(x2-ax+5a)<2的解集为{x|-3<x<2},则实数a=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x)为偶函数,且f(x+4)=f(-x),当-3≤x≤-2时,f(x)=(
1
2
)x
,则f(2013)=(  )
A.
1
8
B.
1
2
C.2D.8
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=
x2-2x+4
x
(x∈[1,3])的值域为(  )
A.[2,3]B.[2,5]C.[
7
3
,3]
D.[
7
3
,4]
题型:单选题难度:简单| 查看答案
规定记号“⊗”表示一种运算,即a⊗b=ab+a+b2(a,b为正实数),若1⊗k=3,则k=(  )
A.-2B.1C.-2或1D.2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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