题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），且对于任意x₁，x₂∈D，均有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0；
（1）求f（1）与f（-1）的值；             
（2）判断函数的奇偶性并证明；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（4）若f（4）=1，解不等式f（3x+1）≤2．

答案

（1）令x₁=x₂=1，代入f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）可得f（1）=0；
令x₁=x₂=-1，则有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）-f（1）=0，解得：f（-1）=0．
（2）令x₁=x，x₂=-1，则有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），即f（-x）=f（x），
所以函数f（x）是偶函数．
（3）设x₁，x₂∈（0，+∞），并且x₁＜x₂，则有

x2

x1

＞1，f（

x2

x1

）＞0，
所以f（x₂）=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)＞f(x1)，
所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（4）由题意可得：f（16）=f（4×4）=2f（4）=2，
所以由f（3x+1）≤2可得：f（3x+1）≤f（16），
因为函数f（x）为偶函数，
所以有f（-x）=f（x）=f（|x|），即f（|3x+1|）≤f（16），
又因为函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以|3x+1|≤16，并且3x+1≠0，
解得：[-

17

3

，-

1

3

)∪(-

1

3

，5]．