题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(1)求的单调区间;
(2)证明:当时,恒成立;
(3)任取两个不相等的正数,且,若存在使成立,证明:.
答案
解析
当k0时,>0,所以函数g(x)的增区间为(0,+),无减区间;
当k>0时,>0,得x>k;<0,得0<x<k∴增区间(k,+)减区间为(0,k)(3’)
(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x="e," 当x变化时,h(x),的变化情况如表
x | 1 | (1,e) | e | (e,+) |
| - | 0 | + | |
h(x) | e-2 | ↘ | 0 | ↗ |
设G(x)=lnx-(x1) ==0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x) G(1)="0," 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,综上,当x1时, 2x-ef(x)恒成立.
(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1
∴lnx0–lnx=-1–lnx===(10’)
设H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=
∴lnx0 –lnx>0, ∴x0>x
核心考点
举一反三
A.1 | B. | C. | D. |
A. | B. |
C. | D. |
(Ⅰ)求实数,的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间.
(Ⅰ)当时,求的最小值;
(Ⅱ)若在上是单调函数,求的取值范围.
A.(1,+∞) | B. | C. | D. |
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