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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数
(Ⅰ)判断f(x)在上的单调性,并证明你的结论;
(Ⅱ)若集合A="{y" | y=f(x),},B=[0,1], 试判断A与B的关系;
(Ⅲ)若存在实数a、b(a<b),使得集合{y | y=f(x),a≤x≤b}=[ma,mb],求非零实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)f(x)在上为增函数.证明见解析(Ⅱ)A=B.(Ⅲ)
解析
本题考查了函数单调性的定义,并结合着函数性质对区间进行分类讨论,并求解.分类讨论在高中范围内仍是很重要的一类思想,在高考中也是经常考查到的思想.
(1)由函数单调性的定义出发,给出证明.
(2)由x的范围算出f(x)的值域.再讲两个集合A和B进行比较.
(3)由前面单调性及函数特征的分析可知,0和1作为分类讨论的两个分界点分别讨论.
解:(1)f(x)在上为增函数.
∵x≥1时,f(x)=1-    对任意的x1,x2,当1≤x1<x2
f(x1)- f(x2)=(1-)-(1-)=
∵x1x2>0,x1-x2<0      ∴      ∴f(x1)< f(x2)
∴f(x)在上为增函数.
(2)证明f(x)在上单调递减,[1,2]上单调递增, 求出A=[0,1]说明A=B.
(3)∵a<b,ma<mb,∴m>0   ∵f(x)≥0, ∴ma≥0,又a≠0,∴a>0 
1° 0<a<b≤1,由图象知,f(x)当x[a,b]递减,
与a<b矛盾
2° 0<a<1<b,这时f(1)=0,则ma=0,而ma>0 这亦与题设不符;
3° 1≤a<b,f(x)当x[a,b]递增
可知mx2-x+1=0在内有两不等实根
由 ,得
综上可知 
核心考点
试题【已知函数(Ⅰ)判断f(x)在上的单调性,并证明你的结论;(Ⅱ)若集合A="{y" | y=f(x),},B=[0,1], 试判断A与B的关系;(Ⅲ)若存在实数a】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知的值。
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已知函数,其中为常数,,则=_____________.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
设函数,其中,记函数的最大值与最小值的差为,则的最小值是_____________.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
关于x的方程有负根,则a的取值范围是_______________
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知是定义在上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x, y, f (x)都满足
(1)求f (1)、f (-1)的值;     
(2)判断f (x)的奇偶性,并说明理由;
(3)证明:为不为零的常数)
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