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题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(本小题满分12分)
已知函数为自然对数的底数).
时,求的单调区间;若函数上无零点,求最小值;
若对任意给定的,在上总存在两个不同的),使成立,求的取值范围.
答案
(1) 的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,).
(2) 的最小值为.
(3) 时,对任意给定的,在上总存在两个不同的),使得成立。
解析

试题分析:解:(I)当时,,则.由;由.故的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,).
(II)因为在区间上恒成立是不可能的,故要使函数上无零点,只要对任意,恒成立.即对,恒成立.令,则,再令,则。故为减函数,于是,从而,于是上为增函数,所以,故要使恒成立,只要.综上可知,若函数上无零点,则的最小值为
.
(III),所以上递增,在上递减.又
,所以函数上的值域为.当时,不合题意;当时,
时,,由题意知,上不单调,故,即。此时,当变化时,的变化情况如下:






0
+


最小值

又因为当时,,所以,对任意给定的,在上总存在两个不同的),使得成立,当且仅当满足下列条件:
,令,则,故当,函数单调递增,当,函数单调递减,所以,对任意的,有,即(2)对任意恒成立,则(3)式解得(4)。综合(1)、(4)可知,当时,对任意给定的,在上总存在两个不同的),使得成立。
点评:解决该试题的关键是能利用函数的导数符号判定其单调性,以及根据函数的单调性得到最值,同时能结合函数与方程的知识求解根的问题,属于中档题。
核心考点
试题【(本小题满分12分)已知函数为自然对数的底数).当时,求的单调区间;若函数在上无零点,求最小值;若对任意给定的,在上总存在两个不同的),使成立,求的取值范围.】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
, 则的值为   (     )
A.8B.C.2D.

题型:单选题难度:简单| 查看答案
(8分)已知函数x∈R).
(1)若,求的值;
(2)若,求的值。
题型:解答题难度:简单| 查看答案
(本小题满分12分)
已知函数
(1)若是定义域上的单调函数,求的取值范围;
(2)若在定义域上有两个极值点,证明:
题型:解答题难度:简单| 查看答案
已知,函数若函数上的最大值比最小值大,则的值为             .
题型:填空题难度:简单| 查看答案
函数的单调递增区间为______________ 递减区间为____________
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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